Аксиома Лобачевского

Аксиомой Лобачевского «Существуют такая прямая а и точка А, не лежащая на ней, что через точку А проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости» отрицается свойственная евклидовой геометрии единственность параллельной. Однако легко убедиться, что если отношение, утверждаемое постулатом Лобачевского, свойственно каким-нибудь определенным точке и прямой, то оно свойственно всяким точке и прямой.
Теорема I. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные какой-нибудь данной прямой ( рис.12), и бесконечно много расходящихся с нею
Так в плоскости Лобачевского через точку C вне данной прямой а проходят, по крайней мере, две прямые b и c, не пересекающие а.

Рис.12 Отношения параллельности на плоскости Лобачевского
Все прямые, проходящие через C, делятся на два класса – пересекающие и не пересекающие а. Эти последние лежат в некотором угле, образованном двумя прямыми b и c , не пересекающими а. Именно эти прямые Лобачевский называет параллельными прямой а или граничными линиями. По одну сторону АС и ВС ни одна линия не встречает прямую а, между тем как по другую сторону каждая линия пересекает линию АB . Угол между ними и перпендикуляром СК – называется углом параллельности (П(р)). Этот угол зависит от расстояния от точки C до прямой а — чем больше это расстояние, тем меньше угол параллельности. Прямые, лежащие внутри угла между прямыми a и b, называются расходящимися по отношению к прямой а (на рис.12 выделены голубым цветом).
0 <П(р)< ½ π [6] В § 1 и 2 говорится об особенностях расположения параллельных и расходящихся прямых . [1] Мы рассмотрим некоторые свойства взаимного расположения параллельных и расходящихся прямых. Результаты, которые мы при этом получим, позволят нам вполне наглядно представить себе различие между параллельными и расходящимися прямыми. И так по определению расходящиеся прямые – это две прямые которые не пересекаются и не параллельны друг другу.

Пифагор

Башук Марина
/ marina.bashuk@yandex.ru/
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 2
I. Основная часть 3
1.Биография Пифагора 3
(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.) 3
2. Основы Пифагореизма 5
II. Математические достижения Пифагора 9
1. Числа и формы 10
2. Симметричные геометрические тела 14
3. Теорема Пифагора 16
3.1 Доказательство способом достроения квадрата 16
3.2 Алгебраический метод доказательства. 17
3.3 Доказательство 9 века н.э. 18
3.4 Другое доказательство методом вычитания 19
3.5 Доказательство Хоукинсa 20
3.6 Значимость теоремы Пифагора 21
III. Другие достижения 21
1. Предсказания и гадания Пифагора 21
2. Символические афоризмы Пифагора 22
3. Пифагорейская Астрономия 25
Заключение 26
Литература и источники 27

ВВЕДЕНИЕ
Когда Мнесарх, отец Пифагора, был в Дельфах по своим торговым делам, он и его жена Партенис решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба благоприятствовать им во время обратного путешествия в Сирию. Пифия (прорицательница Аполлона), сидя на золотом триподе над зияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху, что его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет всех людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на благо человечества. Мнесарх столь впечатлен был пророчеством, что изменил имя собственной жены на Пифазис в честь Пифийской жрицы. Когда родилось дитя в городе Сидоне, Финикия, оно оказалось, как и говорил оракул, мальчиком. Мнесарх и Пифазис назвали его Пифагором, потому что они верили в то, что ему предсказано оракулом
Много странных легенд дошло до наших дней о рождении Пифагора. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человеческую расу. Пифагор был одним из многих мудрецов и спасителей древности, за кем утвердилась репутация безупречного во всем. В своем “Апокалипсисе” Годфри Хиггинс пишет: “Первым странным обстоятельством в истории Пифагора при сравнении ее с жизнью Иисуса было то, что они были уроженцами одной и той же местности. Пифагор родился в Сидоне, а Иисус в Вифлееме, оба города в Сирии. Отец Пифагора, как и отец Иисуса, был пророчески извещен о том, что у него родится сын, который явится благодетелем человечества. Оба родились в то время, когда их родители были вне дома. Иосиф и его жена были на пути в Вифлеем для уплаты налогов, а отец и мать Пифагора путешествовали из Самоса, своей резиденции, в Сидон по делам. Пифазис, мать Пифагора, имела соитие с духом бога Аполлона или Бога Солнца (конечно, это был, наверняка, святой дух, а в случае с Иисусом был Святой Дух), который впоследствии явился к ее мужу и сказал ему, что тот не должен возлегать с женой все время ее беременности — история та же самая, по сути, что случилось с Иосифом и Марией. Из-за этих обстоятельств Пифагор был известен под тем же именем, что и Иисус, а именно как сын Бога, и люди верили, что он был «Божественно вдохновлен».

I. Основная часть
1.Биография Пифагора
(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)
Время жизни самого знаменитого философа Пифагора Самосского точно неизвестно; одни сообщают, что он родился в 569 г. до нашей эры и умер в 470 г., другие же сдвигают его рождение между 600 и 590 гг. до Р.Х. и пишут, что он жил около ста лет. Из жизнеописания Пифагора для нас важно, что он, по-видимому, долгое время провёл в Египте, а возможно и в Вавилонии, и что пребывание в этих странах оказало на него большое влияние.
Великий ученый Пифагор родился на острове Самос в Древней Греции, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

некоторый текст отсутствует_______________________________________

II. Математические достижения Пифагора
Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
теорема о сумме внутренних углов треугольника;
теорема о квадрате гипотенузы в прямоугольном треугольнике;
построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
геометрические способы решения квадратных уравнений;
деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
доказательство того, что каждое из чисел не является рациональным числом;
создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. Рассмотрим некоторые из них.
1. Числа и формы
«Числа правят миром»
Пифагор
В основе религиозно-философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире. «Числа – суть боги на земле», – говорил он. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизнью. Обучение в школе было двухступенчатое, одни ученики назывались «математиками», т. е. познавателями, а другие – «акусматиками», т. е. слушателями. Математики – те, кто изучал суть науки, акусматики – те, кто прослушивал обобщенный свод знаний. Акусматики представляли первую ступень в школе Пифагора. Наиболее одаренные акусматики переводились в математики, им разрешалось видеть учителя, вести с ним научные споры. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа древними греками мыслились зримо в виде камешков (популярные сегодня слова «калькуляция», «калькулятор» произошли именно от счета камешков, разложенных на песке или на счетной доске – абаке). Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур; эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
1. Линейные числа (т. е. простые) – числа, которые делятся на 1 и на себя, следовательно, их представляли в виде последовательности точек, выстроенных в линию:
. . . . . – например, число 5.
2. Плоские числа – числа, представляемые в виде произведения двух сомножителей:
например, число 6=2∙3.
3. Треугольные числа
(3, 6, 10 и т. д.).
1.Таблица Простые числа до 1000

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметики.
Так, представляя плоское число 6 в двух формах: легко «увидеть» переместительный закон умножения.
Одной из главных частей пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Наряду с математическими истинами в открытиях пифагорейцев было много фантазии и мистики. Так, четные числа они считали несчастными, а нечетные – счастливыми. (Эта традиция сохранилась и поныне в обычае дарить нечетное число цветов.) Всякое нечётное число, кроме единицы есть разность двух квадратов 2n+1=〖(n+1)〗^2-n^2.
2.Таблица Четных и нечётных чисел
Чётные числа 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30……
Нечётные числа 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29….
1 и 2 не считались числами у пифагорейцев, потому что они представляют две надмирские сферы. Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй — разума, а третий — низший — вместилищем количеств
Пифагор учил, что точка символизирует число 1, линия — число 2, плоскость — число 3, и многогранники — число 4
Рис.1 Виды символов чисел Пифагора

В математике Пифагоровыми числами (Пифагоровой тройкой) называют три целых числа (a, b, c), удовлетворяющие соотношению Пифагора a^2+b^2=c^2
3.Таблица тройки чисел Пифагора
a b c a b c a b c
3 4 5 9 12 15 15 20 25
5 12 13 10 24 26 15 36 39

4.Таблица умножения Пифагора от 1 до 10
х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Пифагор особенно выделял совершенные числа, которые равны сумме своих делителей: 6, 28, 496, четвёртое 8128 было найдено в I в. н. э, пятое совершенное число было найдено в 15 веке – это 33550336, к 1983 году было известно 27 совершенных чисел, в 1985 году найдено 31 самое большое второе число математиком Марсенном из США – это 〖(2〗^216091-1)∙2^216090
6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14; 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248;

Рис.2 Квадрат Пифагора

2. Симметричные геометрические тела
“Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих мыслителей величайшее значение. Для того, чтобы быть совершенно симметричным, геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть только пять таких тел.

некоторый текст отсутствует___________________________________

Геометрия Лобачевского

В начале XIX века почти одновременно у нескольких математиков: К. Гаусса в Германии, Я. Больяи в Венгрии и Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии с альтернативной аксиомой параллельности. Поскольку Н. Лобачевский первым выступил с этой идеей в 1826 году, и внёс значительный вклад в развитие новой геометрии, она была названа в его честь «геометрией Лобачевского».
Именно этому замечательному математику прошлого века и посвящается данный раздел.

Псевдосфера

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на фрагменте плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера.
Псевдосфера — это поверхность вращения кривой
z=ln⁡〖(tg t/2)+cos⁡t 〗
y=0
x=sin⁡t
вокруг оси Oz (рис.1).

Рис.1 Псевдосфера (поверхность Бельтрами)

Прямыми Лобачевского на этой поверхности являются геодезические, то есть линии кратчайшей длины, соединяющие две точки. Геодезическую можно получить, натянув по поверхности нить. Большая часть геодезических на псевдосфере — это спирали, навивающиеся на «граммофонную трубу». Но геодезическими также являются сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось вращения. Расстояния в этой модели — обычные евклидовы длины геодезических (поскольку псевдосфера вложена в обычное трехмерное пространство, то эти длины можно найти).
Однако, геометрия на псевдосфере лишь локально реализует геометрию Лобачевского. Это значит, что если вырезать кусок псевдосферы, в котором не будет отверстий, то ему можно будет однозначно сопоставить кусок плоскости Лобачевского, причем расстояние Лобачевского между любыми точками будет сохраняться.
Заметим, также, что псевдосфера является поверхностью с отрицательной кривизной (рис.2).

Рис.2 Поверхности разной кривизны: отрицательной (однополостный гиперболоид), нулевой (цилиндр) и положительной (сфера)

Псевдосфера, как видно на ее изображении (а значит, и плоскость Лобачевского), имеет отрицательную кривизну, причем оказывается, что эта кривизна постоянна (не зависит от точки поверхности).