Геометрия Лобачевского

В начале XIX века почти одновременно у нескольких математиков: К. Гаусса в Германии, Я. Больяи в Венгрии и Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии с альтернативной аксиомой параллельности. Поскольку Н. Лобачевский первым выступил с этой идеей в 1826 году, и внёс значительный вклад в развитие новой геометрии, она была названа в его честь «геометрией Лобачевского».
Именно этому замечательному математику прошлого века и посвящается данный раздел.

Псевдосфера

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на фрагменте плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера.
Псевдосфера — это поверхность вращения кривой
z=ln⁡〖(tg t/2)+cos⁡t 〗
y=0
x=sin⁡t
вокруг оси Oz (рис.1).

Рис.1 Псевдосфера (поверхность Бельтрами)

Прямыми Лобачевского на этой поверхности являются геодезические, то есть линии кратчайшей длины, соединяющие две точки. Геодезическую можно получить, натянув по поверхности нить. Большая часть геодезических на псевдосфере — это спирали, навивающиеся на «граммофонную трубу». Но геодезическими также являются сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось вращения. Расстояния в этой модели — обычные евклидовы длины геодезических (поскольку псевдосфера вложена в обычное трехмерное пространство, то эти длины можно найти).
Однако, геометрия на псевдосфере лишь локально реализует геометрию Лобачевского. Это значит, что если вырезать кусок псевдосферы, в котором не будет отверстий, то ему можно будет однозначно сопоставить кусок плоскости Лобачевского, причем расстояние Лобачевского между любыми точками будет сохраняться.
Заметим, также, что псевдосфера является поверхностью с отрицательной кривизной (рис.2).

Рис.2 Поверхности разной кривизны: отрицательной (однополостный гиперболоид), нулевой (цилиндр) и положительной (сфера)

Псевдосфера, как видно на ее изображении (а значит, и плоскость Лобачевского), имеет отрицательную кривизну, причем оказывается, что эта кривизна постоянна (не зависит от точки поверхности).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.