Аксиома Лобачевского

Аксиомой Лобачевского «Существуют такая прямая а и точка А, не лежащая на ней, что через точку А проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости» отрицается свойственная евклидовой геометрии единственность параллельной. Однако легко убедиться, что если отношение, утверждаемое постулатом Лобачевского, свойственно каким-нибудь определенным точке и прямой, то оно свойственно всяким точке и прямой.
Теорема I. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные какой-нибудь данной прямой ( рис.12), и бесконечно много расходящихся с нею
Так в плоскости Лобачевского через точку C вне данной прямой а проходят, по крайней мере, две прямые b и c, не пересекающие а.

Рис.12 Отношения параллельности на плоскости Лобачевского
Все прямые, проходящие через C, делятся на два класса – пересекающие и не пересекающие а. Эти последние лежат в некотором угле, образованном двумя прямыми b и c , не пересекающими а. Именно эти прямые Лобачевский называет параллельными прямой а или граничными линиями. По одну сторону АС и ВС ни одна линия не встречает прямую а, между тем как по другую сторону каждая линия пересекает линию АB . Угол между ними и перпендикуляром СК – называется углом параллельности (П(р)). Этот угол зависит от расстояния от точки C до прямой а — чем больше это расстояние, тем меньше угол параллельности. Прямые, лежащие внутри угла между прямыми a и b, называются расходящимися по отношению к прямой а (на рис.12 выделены голубым цветом).
0 <П(р)< ½ π [6] В § 1 и 2 говорится об особенностях расположения параллельных и расходящихся прямых . [1] Мы рассмотрим некоторые свойства взаимного расположения параллельных и расходящихся прямых. Результаты, которые мы при этом получим, позволят нам вполне наглядно представить себе различие между параллельными и расходящимися прямыми. И так по определению расходящиеся прямые – это две прямые которые не пересекаются и не параллельны друг другу.

Пифагор

Башук Марина
/ marina.bashuk@yandex.ru/
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 2
I. Основная часть 3
1.Биография Пифагора 3
(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.) 3
2. Основы Пифагореизма 5
II. Математические достижения Пифагора 9
1. Числа и формы 10
2. Симметричные геометрические тела 14
3. Теорема Пифагора 16
3.1 Доказательство способом достроения квадрата 16
3.2 Алгебраический метод доказательства. 17
3.3 Доказательство 9 века н.э. 18
3.4 Другое доказательство методом вычитания 19
3.5 Доказательство Хоукинсa 20
3.6 Значимость теоремы Пифагора 21
III. Другие достижения 21
1. Предсказания и гадания Пифагора 21
2. Символические афоризмы Пифагора 22
3. Пифагорейская Астрономия 25
Заключение 26
Литература и источники 27

ВВЕДЕНИЕ
Когда Мнесарх, отец Пифагора, был в Дельфах по своим торговым делам, он и его жена Партенис решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба благоприятствовать им во время обратного путешествия в Сирию. Пифия (прорицательница Аполлона), сидя на золотом триподе над зияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху, что его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет всех людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на благо человечества. Мнесарх столь впечатлен был пророчеством, что изменил имя собственной жены на Пифазис в честь Пифийской жрицы. Когда родилось дитя в городе Сидоне, Финикия, оно оказалось, как и говорил оракул, мальчиком. Мнесарх и Пифазис назвали его Пифагором, потому что они верили в то, что ему предсказано оракулом
Много странных легенд дошло до наших дней о рождении Пифагора. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человеческую расу. Пифагор был одним из многих мудрецов и спасителей древности, за кем утвердилась репутация безупречного во всем. В своем “Апокалипсисе” Годфри Хиггинс пишет: “Первым странным обстоятельством в истории Пифагора при сравнении ее с жизнью Иисуса было то, что они были уроженцами одной и той же местности. Пифагор родился в Сидоне, а Иисус в Вифлееме, оба города в Сирии. Отец Пифагора, как и отец Иисуса, был пророчески извещен о том, что у него родится сын, который явится благодетелем человечества. Оба родились в то время, когда их родители были вне дома. Иосиф и его жена были на пути в Вифлеем для уплаты налогов, а отец и мать Пифагора путешествовали из Самоса, своей резиденции, в Сидон по делам. Пифазис, мать Пифагора, имела соитие с духом бога Аполлона или Бога Солнца (конечно, это был, наверняка, святой дух, а в случае с Иисусом был Святой Дух), который впоследствии явился к ее мужу и сказал ему, что тот не должен возлегать с женой все время ее беременности — история та же самая, по сути, что случилось с Иосифом и Марией. Из-за этих обстоятельств Пифагор был известен под тем же именем, что и Иисус, а именно как сын Бога, и люди верили, что он был «Божественно вдохновлен».

I. Основная часть
1.Биография Пифагора
(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)
Время жизни самого знаменитого философа Пифагора Самосского точно неизвестно; одни сообщают, что он родился в 569 г. до нашей эры и умер в 470 г., другие же сдвигают его рождение между 600 и 590 гг. до Р.Х. и пишут, что он жил около ста лет. Из жизнеописания Пифагора для нас важно, что он, по-видимому, долгое время провёл в Египте, а возможно и в Вавилонии, и что пребывание в этих странах оказало на него большое влияние.
Великий ученый Пифагор родился на острове Самос в Древней Греции, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

некоторый текст отсутствует_______________________________________

II. Математические достижения Пифагора
Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:
теорема о сумме внутренних углов треугольника;
теорема о квадрате гипотенузы в прямоугольном треугольнике;
построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
геометрические способы решения квадратных уравнений;
деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
доказательство того, что каждое из чисел не является рациональным числом;
создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое. Рассмотрим некоторые из них.
1. Числа и формы
«Числа правят миром»
Пифагор
В основе религиозно-философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире. «Числа – суть боги на земле», – говорил он. Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизнью. Обучение в школе было двухступенчатое, одни ученики назывались «математиками», т. е. познавателями, а другие – «акусматиками», т. е. слушателями. Математики – те, кто изучал суть науки, акусматики – те, кто прослушивал обобщенный свод знаний. Акусматики представляли первую ступень в школе Пифагора. Наиболее одаренные акусматики переводились в математики, им разрешалось видеть учителя, вести с ним научные споры. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме. Они верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа древними греками мыслились зримо в виде камешков (популярные сегодня слова «калькуляция», «калькулятор» произошли именно от счета камешков, разложенных на песке или на счетной доске – абаке). Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур; эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
1. Линейные числа (т. е. простые) – числа, которые делятся на 1 и на себя, следовательно, их представляли в виде последовательности точек, выстроенных в линию:
. . . . . – например, число 5.
2. Плоские числа – числа, представляемые в виде произведения двух сомножителей:
например, число 6=2∙3.
3. Треугольные числа
(3, 6, 10 и т. д.).
1.Таблица Простые числа до 1000

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметики.
Так, представляя плоское число 6 в двух формах: легко «увидеть» переместительный закон умножения.
Одной из главных частей пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Наряду с математическими истинами в открытиях пифагорейцев было много фантазии и мистики. Так, четные числа они считали несчастными, а нечетные – счастливыми. (Эта традиция сохранилась и поныне в обычае дарить нечетное число цветов.) Всякое нечётное число, кроме единицы есть разность двух квадратов 2n+1=〖(n+1)〗^2-n^2.
2.Таблица Четных и нечётных чисел
Чётные числа 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30……
Нечётные числа 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29….
1 и 2 не считались числами у пифагорейцев, потому что они представляют две надмирские сферы. Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй — разума, а третий — низший — вместилищем количеств
Пифагор учил, что точка символизирует число 1, линия — число 2, плоскость — число 3, и многогранники — число 4
Рис.1 Виды символов чисел Пифагора

В математике Пифагоровыми числами (Пифагоровой тройкой) называют три целых числа (a, b, c), удовлетворяющие соотношению Пифагора a^2+b^2=c^2
3.Таблица тройки чисел Пифагора
a b c a b c a b c
3 4 5 9 12 15 15 20 25
5 12 13 10 24 26 15 36 39

4.Таблица умножения Пифагора от 1 до 10
х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Пифагор особенно выделял совершенные числа, которые равны сумме своих делителей: 6, 28, 496, четвёртое 8128 было найдено в I в. н. э, пятое совершенное число было найдено в 15 веке – это 33550336, к 1983 году было известно 27 совершенных чисел, в 1985 году найдено 31 самое большое второе число математиком Марсенном из США – это 〖(2〗^216091-1)∙2^216090
6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14; 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248;

Рис.2 Квадрат Пифагора

2. Симметричные геометрические тела
“Симметричные геометрические тела имели для пифагорейцев и последующих греческих мыслителей величайшее значение. Для того, чтобы быть совершенно симметричным, геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть только пять таких тел.

некоторый текст отсутствует___________________________________